制御工学の PI 制御の伝達関数について質問です

Question

普通科高校卒の大学生1年生ですが
写真の制御工学問題で質問です。
(僕の理解力のおおよその目安です)

なお質問の意図は将来に向けた
独学での学習目的です。

1、P動作とI動作の伝達関数の
      和はPI 制御の伝達関数ですか？
※ Ti は積分時間

2、「I 制御」の伝達関数を求める
      下記の式は合っていますか？

c(t)＝(1/Ti)∫e(t) dt をラプラス変換し
C(s)＝E(s)Kp/ Ti・s ・・・(1) より、C(s)/E(s)＝Kp/ Ti・s

3、(1)式の部分について
     ∫e(t) dt のラプラス変換が
E(s)・Kp / s となるのは何故ですか？
(E(s) / s になると思っていました。)

下に写真を添付しましたが、
ここが見にくい、情報が足りない等の
指摘があれば補足の方で対応します。

Accepted Answer

アナログオペアンプのハードPID回路
https://www.eda-express.com/hot_topix/2011/03/spice-simulation---3.html
http://www.f-kmr.com/pid_control.htm
https://www.cqpub.co.jp/DWM/contents/0100/dwm010001020.pdf
https://www.m-system.co.jp/mstoday/plan/mame/b_control/9707/index.html

いにしえの昭和時代にはアナログオペアンプ回路のPID制御器は普通にありました
ハード回路なんで、必ずしも理想的な演算回路を作れるとは限りませんでした
何しろ、コスパ（cost-performance）が何よりも最優先される

現代ではマイコン制御のPIDなんで演算式等比較的自由に作れるハズですが
必ずしも理想的な演算式でなく、いにしえのアナログ回路をエミュレートしただけだったりする
https://www.fa.omron.co.jp/products/category/control-components/temperature-controllers/general-purpose/
https://www.compoclub.com/products/recommend/super/index.html
https://www.yokogawa.co.jp/solutions/products-platforms/control-system/controllers-indicators/single-loop-controllers/

どーせいずれ出て来る質問でしょうけど
「不完全微分」ってなんやねん？
https://www.m-system.co.jp/rensai/pdf/r0411.pdf
http://fa-dic.mitsubishielectric.co.jp/faq/show/15731?category_id=897

この辺りの事は円の面積の公式πD^2/4とかと同様で丸暗記する以外の解決策は無い
どーせなんでそうなったかを説明できる人はほぼ居ないんだし

制御工学のPI制御の伝達関数についての質問