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締切済み
円運動の速度ｒωを時間微分するって？
2020/01/11 11:12
回転半径ｒの円運動の速度がｒω（ω；角速度）というのは理解できるのですが、これをさらに微分すると、ｒω２乗となるのが理解できません。どなたかこの微分の仕方か、または、ｒω２乗が角加速度となることを教えてください。向心力が物体の質量に角加速度を乗じて求められ、同時に慣性力が遠心力であることは理解できてているつもりでいますが、角加速度がどうしてｒω２乗であらわされるのかが腑に落ちません。どなたか、教えてください。
回答 （1件中 1～1件目)
円軌道上の点Pの物体の位置ベクトルはr=(rcosθ, rsinθ)
v=dr/dt=(-rsinθ*dθ/dt, rcosθ*dθ/dt)でありdθ/dtをωと書くのですから
v=(-rωsinθ, rωcosθ)=rω
もう一回tで微分します。
a=(-r(dω/dt)sinθ-rωcosθ*dθ/dt, r(dω/dt)cosθ-rωsinθ*dθ/dt)
=(-r(dω/dt)sinθ-r(ω^2)cosθ, r(dω/dt)cosθ-r(ω^2)sinθ)
=(-r(ω^2)cosθ, -r(ω^2)sinθ) + (-r(dω/dt)sinθ, r(dω/dt)cosθ)
=-rω^2 + (-r(dω/dt)sinθ, r(dω/dt)cosθ)
となって角速度が一定でなければ第2項が残ったままですね。
角速度が一定であればa=-rω^2となって，加速度は動径方向とは逆方向で大きさがrω^2であることが分かります。これが向心力となるのですね。
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お礼
2020/01/16 15:25
有難うございます。質問をUPしてから、高校の物理の教科書を引っ張り出して自分でも沈思黙考しました。円運動のホドグラフから、その変化の割合を計算すると接線方向の速度ｖとした場合、遠心力＝向心力から加速度はv^２/rであり、ｖ＝ｒωであることから向心加速度がｒω^２であると納得したつもりでいますが、やはり、角速度ｒωをさらに時間ｔで微分することは微分法の知識が未熟なためできませんでした。現在は三角関数の微分法を独習しています。教えていただいた、微分の解法を自分なりに納得できるまでレベルアップしていきたいと思います。ありがとうございました。