自作の昇圧回路で3.7Vを6V又は12Vに昇圧する方法

アマゾンで販売している可変昇圧電源の仕様がマッチすると思います。
私はこれを5Vから約15Vに昇圧しLEDを点灯しています。
4年使用しましたが何ら問題なしです。

昇圧レギュレータ
https://www.analog.com/jp/analog-dialogue/articles/applying-dc-to-dc-step-up-boost-regulators.html
https://www.analog.com/jp/products/adp1612.html
http://www.tij.co.jp/ja-jp/power-management/non-isolated-dc-dc-switching-regulators/step-up-boost/overview.html
https://www.maximintegrated.com/jp/products/power.html

↓日本の会社
https://www.rohm.co.jp/products/power-management/switching-regulators/controller/boost-converters
https://www.e-devices.ricoh.co.jp/ja/products/product_power/dc_up/

入力が3.7V程度で出力が12V/2.5Aであれば、秋月電子で販売されている下記のキットが良いかと思われます。
同期式昇圧型スイッチング電源モジュール　AE-TPS61088
http://akizukidenshi.com/catalog/g/gK-14566/
上記リンクから参照できる取扱説明書のpdfに入力電圧／出力電圧・電流のグラフがありますが、3.7V入力の場合で2.5A程度は出力できそうです。

以上、ご参考まで。

回路構成としては、次のURLに示す「昇圧チョッパ」を使えばOKです。
http://www.energychord.com/children/energy/pe/dcdc/contents/dcdc_boost_intro.html
スイッチング素子のFETの選定、インダクタの設計、LEDに所定の電流を供給する制御回路などは、昇圧チョッパの回路動作を的確に理解している必要があるので、一朝一夕にはいきません。
ご所望の動作を謳っているキットを探すか、近似の回路を下敷きに動作点を変更するように改造すれば実現可能です。

電源回路は相当焼損事故など相当のリスクを伴いますので、単に金銭的に安く仕上げたいという動機であれば、自作することはお勧めできません。電源回路が燃えたとしても自己責任として処理することを前提に、技術を習得したいとお望みであって、その旨追記頂ければ、もう少々情報提示できると思います。