静電気について教えてください

貼る行為だけなら静電気の心配はないと思います。

一方で剥がす方は静電気発生の危険が無いとは言えません。
極めて極端な例ですが真空中で勢いよくテープをロールから引き出していくレントゲン撮影が可能なレベルのX線が発生します。
電圧換算で15,000Vくらいみたいです。

大気中では空気の分子にエネルギーが拡散するようで大したことにはならないはずではありますが、妙な帯電や放電が起きてサージ電流でIC破損もあり得ないとは言い切れないです。

御社の製品については良く分かりませんが、銅板にカプトンテープを貼り付けると言うことは、ゴミなどが挟まらないように除去する工程があるのではありませんか？

全く別の製品ですがプリント基板の露光装置では、基板表面にゴミが付着していると光が当たらず製品不良となってしまうため、露光前にクリーンローラーと呼ばれる粘着性のローラーを通すようにしています。
また、露光前に感光性のフィルムを貼り付ける際も同様です。

このクリーンローラーと基板の間では、回転摩擦によって双方に静電気が発生し、ときには空気中で放電を起こすこともあります。
放電するほどの静電気ですから電圧は非常に高く、電子回路の誤動作はもちろん、ICを破壊するにも十分なものです。

対策として、クリーンローラーは建屋のアースにつないで静電気を逃がしたり、基板側はアースにつないだ除電ピンに接触させたり静電気除去装置（イオナイザ）を使用する方法があります。

静電気を十分に逃せず誤動作したりする事例としては、
? 建屋のアースにしっかり接続されていなかった。
? 建屋のアースそのものの工事が悪く、接地抵抗が十分に低くない。
? 誤動作させたくない電子機器の入った装置と、クリーンローラーが接触している。

などがあります。
?については対策しようもありませんが、意外と?と?が多いです。

装置の筐体が建屋アースにつないであり、静電気を含むノイズ類はそちらに逃げていくという構造が大前提ですが、全ての電子機器はノイズ対策のために筐体にGND（電源のマイナス側）がつないであります。
ですから、静電気の塊であるクリーンローラーと筐体が接触していると、静電気ノイズが筐体経由で電子機器に直接流れ込んで誤動作したり故障したりすることがあります。