抜き取り検査した製品への不良品の混入数の推定につ…

Question

抜き取り検査した製品への不良品の混入数の推定について

御世話になります。統計に関して初歩的かも知れませんが宜しく御願いします。
ある製品を、100万個単位（20万個の袋入り）を20回以上納めてきました。
今までトラブルはなかったのですが、今回20万個の袋の中から１本の不良品が見つかりました。
今まで、20万個/ロットの内1万個を抜き取り検査を行い、不良が「０」であるものを納めてきましたが、顧客より1万個の抜き取りで不良０であれば、20万個のロットに不良が０である保証はあるのかを問われました。
この件に付き、是非お教え願います。
（また抜き取り検査である故に、全く「０」であるとは思えませんが、
顧客に説明するのに、不良が含まれている可能性があるとは直接的に表現できません。）
以上よろしく御願いいたします。

Answer

単純な確率論でいえば、母集団を20万個、抜取り数を1万本とした場合、抜き取った試料中に含まれる不良品が0個である確率Ｐは次の式で近似されます。つまりＰはn=10000　C=0で合格する確率です
P＝（１－p）＾n
p＝不良率
ｎ=抜き取り数
この式に当てはめますと
不良が1個/20万中の場合Ｐ＝0.951
不良が1個/１０万中の場合Ｐ＝0.905
不良が1個/５万中の場合Ｐ＝0.819
不良が1個/１万中の場合Ｐ＝0.368
不良が1個/０．５万中の場合Ｐ＝0.135
不良が1個/０．２５万中の場合Ｐ＝0.018
従って、現在の抜き取り方式では、かなり不良品が含まれているロットしか検出できないということになります
よって5ppm以下を保証するには、皆さんが言っているように全数検査しかないという結論になります

当社はこのような場合、不良の発生する原因を特定し、その原因が発生しないことを工程内で管理することを顧客に説明して分かってもらい、管理ミスが発生した場合、ppmオーダーではない不良が発生することを想定し、その想定した不良率を確実に検出できるだけの検査方式で検査を行うことで品質を保証するという考えで納得してもらうことが多いです

Answer

1万個の抜き取り検査で不良ゼロであれば、
ごく単純に考えて、不良率は１万分の0.5以下ということです。
不良率の裏返しである良品率は、１万分の9999.5・・・・0.9995以上です。

母数20万個に不良が含まれない可能性は、0.9995の20乗＝0.99005という
ことになると思います。つまりは、20万個のロット中に含まれる不良数が
20万個×（１－0.99005)＝1990個　以下である可能性が50%以上ということを
証明したことに相当します。

１回でけの１万個の抜き取り検査で不良がゼロという結果は、20万個の中に
不良が含まれないことを示すデータとしては、不十分と言わざるを得ません。
とはいうものの、１万個の抜き取り検査で20回連続して不良ゼロであれば、
20万個のロット中に含まれる不良数が、確率的に、20万分の0.5以下という
ことを表しています。

「顧客に説明するのに、不良が含まれている可能性があるとは直接的に表現
できません。」との状況は理解できますが、抜き取り検査で不良ゼロである
ことを証明することは、確率論の理屈の上で不可能と思います。

Answer

とりあえず
昔書いた不良率の話を探したが見つからんかった

とりあえずがんばってね

Answer

多分、今まで、工程が優秀で検査に重きを置いていなかったように見えます。
（褒めてます。）

期待する回答ではないと思うが、

不良ゼロを証明するのは、全数検査しかないでしょう。
（回答（２）さんに同意）
抜き取り検査は、許容する不良率ありきの考え方です。

1/1,000,000=1ppm（不良1個）を問題とするなら、
（客先が不良を許容しないのなら）
やはり、基本、全数検査でしょう。

客先の納得を得られるかどうか分からないし、
ゼロ要求に対してはさして効果も無いが、

抜き取り検査の基準をいじるなら、
ロット当り　1/10,000＝100ppm　ないし　
納入当り　1/50,000＝20ppm　ではつらい。
とりあえず、5ppm以下でないと、1ppmの議論にもならないと思う。
5ppm＝1/200,000　なので、
ロット当り抜き取り数を10,000（5％）＝＞40,000（20％）以上にするのはどうか。

不良率の計算

今の場合、
計算してもあまり意味は無いと思うが、

ポアソン分布の式で計算してみると

P(x)=(e^(pn))*((pn)^x)/x!
へ

n=10,000
p=1/1,000,000=1ppm
x=1
を代入すると、、、1％

n=200,000
を代入しても、、、16％

＞　100万個単位（20万個の袋入り）を20回以上納めてきました。
なので
累積不良率は、1/（20*1,000,000）=0.05ppm

n=10,000
p=1/20,000,000=0.05ppm
x=1
を代入すると、、、0％

n=200,000
を代入しても、、、1％

検査としては無力、意味がないことがはっきり。

Answer

＞20万個/ロットの内1万個を抜き取り検査を行い、不良が「０」であるものを納めてきましたが

でも不良があったとのクレームなので、同じく全数検査が必要な案件です。

＞1万個の抜き取りで不良０であれば、20万個のロットに不良が０である保証は

無い。抜き取りしてもしなくても一緒。工程実力そのものでは不足なら全数検査にすべきです。（やっても刎ねた不良がポロッと落ちて混入しアウトな例も）

1万個に１個の率で不良がある質の悪いものを、１万個検査して不良ゼロとなってすり抜ける確率が73.6％もある。50％でないのは不良品が偏って２個以上あるロットも出るから。

20万個の袋の中から１本の不良品が見つかった場合の不良数推定について