制動時の減速度又は走行時間の求め方を教えてください

結局、回答(4)は間違いです。混乱させてすみません。




















以下はとても辛口コメントです。

































この質問は、

何かの試験問題ですか?

googleさんあたりでヒットしたネタを質問している、まぁ趣味ですか?

仕事上、たとえばエレベータ的なものの設計などで必要になったのですか?


前者中者であれば、がんばって勉強をしてくださいませ。




後者なのであれば、あなたはこのエレベータ的なものの、研究、開発、設計、製造、品質検査、保守点検、セールスエンジニア、どの立場ですか?
どの立場であるにせよ、即座にあなたはその立場から身を引いてください。
「１階微分」をご存じ無いあなたが、剛体の力学、ニュートンの第１法則第２法則第３法則、エネルギー保存則をご存じとは思えません。
なので、ここで出た多くの方の結果式を理解できるとは思えません。大切な事は結果式ではなく、どのようにモデル化しているか、どのように数式化しているか、です。それを理解できないあなたが生半可に結果式を使って携わったものは、あなたを含む多くの方の生命や財産を奪います。

お礼

2012/02/13 12:53

ご丁寧に回答の間違いをお知らせ下さって、
有難うございます。

質問者

エネルギーの関係で計算すると、比較的簡単に答えが出るようです。
制動期間を考えたとき、次の式のエネルギー保存の関係が成り立ちます。

　　Ｅk ＋ Ｅp ＝ Ｅb

ここで、式の記号が表す意味は、次の通り。
(1)Ｅkは、制動開始直前に系が保持する運動エネルギーを表します。
　具体的な数値：Ｅk ＝ 1/2×Ｍ×ｖ^2＋1/2×Ｉ×ω^2 ＝ 226.56 (J)
(2)Ｅpは、制動期間において物体の落下により位置エネルギーが運動エネル
　ギーに変換される分であり、落下距離をｈ(m)とすると、
　　Ｅp ＝ ｍ×g×ｈ ＝ (1200-600)×9.8×ｈ=5880(N)×ｈ(m)　　
(3)Ｅbは、ブレーキが吸収する機械エネルギーであり、ブレーキ力と落下距
　　離ｈで表すことができます。
　　Ｅb ＝ μ×Ｐ×g×ｈ ＝ 0.4×2800×9.8×ｈ ＝10976(N)×ｈ(m)
(1)～(3)の数値を式に代入すると、
　　226.56(J)＋5880(N)×ｈ(m)＝10976(N)×ｈ(m)
移項して、ｈについて整理すると、制動の間に落下する距離ｈ(m)が求まる。

　　ｈ＝222.56(J)÷（10976－5880) (N) ＝ 0.0445 (m)

答えは、もちろん、前の回答者さんと同様です。

上昇方向の運動をしている物体Ｂを、重力加速度より大きな加速度で減速
させようとする場合、ロープにたるみが生じます。
今回の減速度は、重力加速度より小さいので、ロープにたるみが生じること
はないと思います。

物理の問題としての答えは、ブレーキは、Ａ側でもＢ側でも、同等の制動
距離、制動時間であるとしていいと思います。とはいうものの、機械工学
としては、たるみの生じる危険性の大小によって考慮を加える可能性は
あるかもしれません。









　

お礼

2012/02/13 13:08

ご丁寧な回答有難うございます。
非常にわかりやすいです。
それから、他の回答者さまと同じ結果出ていますので、
比較することも出来ます。
本当に有難うございます。

質問者

今一度考察してみました。



「ロープは剛体ではない」という前提なので、それをどうモデル化するかがポイントと思います。

ここでのモデルは、滑車と物体間、ブレーキ摩擦作用点と滑車間、ブレーキ摩擦作用点と物体間、においてロープがたるむ場合には、その間の張力はゼロとすることで、ロープを剛体とみなしません。また、その間のロープがピンと張っている場合は、ロープを剛体とし、たとえば細い棒でつながれているものとしています。



A側にブレーキ機構を設置した場合です。



ロープが物体Aを引っ張る張力を Ta, 物体Bを引っ張る張力を Tb, 物体Aの下方向への移動距離を xa, ブレーキ機構による摩擦力を fd とします。
物体Aの側で滑車がロープを引っ引っ張る張力を Ta', 物体Bの側のそれを Tb' とします。
滑車の回転角度をθとし、xa が正の向きでθも正です。


dot{*}は1階、ddot{*}は2階微分です。




まず、物体Aの落下速度 v0 の時にブレーキを稼働させた場合、物体A側の滑車とブレーキ摩擦作用点の間でロープがたるむのかどうかを調べなければなりません。

次のモデルを考えます。

前提条件から、ロープがたるむ場合、Ta' = 0 です。したがって次の運動方程式を得ることができます。

d/2 * (-Tb) = J * ddot{θ}
Ma*g - fd = Ma * ddot{xa}
Mb*g - Tb = -Mb * d/2*ddot{θ}

これを解いて、ddot{θ}とddot{xa}を得ます。私はフリーの Maxima さんに計算してもらいました。

ddot{θ} = -2*d*g*Mb / (4*J + d*d*Mb)
ddot{xa} = (g*Ma - fd) / Ma

ddot{θ}は滑車の角加速度ですから、その周加速度 ddot{xa'} に変換します。

ddot{xa'} = ddot{θ}*d/2 = -d*d*g*Mb / (4*J + d*d*Mb)


仕様から、g*Ma > fd なので、物体A の落下加速度は正、物体Aは加速しながら落下することになります。

一方、滑車の周速度は負です。

「物体Aが加速しているのに滑車の周速度は減速する」ことはあり得ないので「ロープがたるむ」とした仮定とそのモデルは成り立ちません。

したがって、この仕様ではロープがたるまない。

つまり剛体として扱ってよいことになります。





物体Aが停止するまでの時間を求めます。

ロープはたるまないのですから、高等学校物理の「剛体の運動」の知識で解くことができます(回答(1)参照)。


偉そうに大学基礎物理の「動力学」の見地で解いてみます(いや、解くのは Maxima さんですが。)

運動方程式は下です。

d/2 * ( Ta - fd - Tb ) = J * ddot{θ}
Ma * g - Ta = Ma * d/2 * ddot{θ}
Mb * g - Tb = -Mb * d/2 * ddot{θ}

xa = d/2 * θ



これから、

dot{xa} = 0

となる時間を求めると、

t = v0*( 4*J + d*(Ma + Mb) ) / ( d*d*( g*(Mb - Ma) + fd) )

となりました。


仕様から、

t = 0.1778 sec

です。

移動距離は

v0 * t/2 = 0.04445 m


たぶん、回答(1)と同じ結果と思います。


物体B側にブレーキ機構を設置した場合については、また別の機会に。

おっ～と、ちょっとtypeミス。

> 一方、滑車の周速度は負です。

↓

> 一方、滑車の周加速度は負です。

重ねがさね恥ずかしい。

> t = v0*( 4*J + d*(Ma + Mb) ) / ( d*d*( g*(Mb - Ma) + fd) )

↓

t = v0*( 4*J + d*d*(Ma + Mb) ) / ( d*d*( g*(Mb - Ma) + fd) )

物体B側にブレーキ機構を設置した場合です。




ロープが物体Aを引っ張る張力を Ta, 物体Bを引っ張る張力を Tb, 物体Aの下方向への移動距離を xa, 物体Bの下方向への移動距離を xb, ブレーキ機構による摩擦力を fd とします。
物体Aの側で滑車がロープを引っ引っ張る張力を Ta', 物体Bの側のそれを Tb' とします。
滑車の回転角度をθとし、xa が正の向きでθも正です。


dot{*}は1階、ddot{*}は2階微分です。




まず、物体Aの落下速度 v0 の時にブレーキを稼働させた場合、物体B側のブレーキ摩擦作用点と物体Bの間でロープがたるむのかどうかを調べなければなりません。


次のモデルを考えます。

物体A側にブレーキ機構を設置した場合と同様に、ロープがたるむ場合、Tb = 0 とします。次の運動方程式を得ることができます。


d/2 * (Ta - fd) = J * ddot{θ}
Ma*g - Ta = Ma * d/2 * ddot{θ}
Mb*g = -Mb * ddot{xb}

これを解いて、ddot{θ}とddot{xb}を得ます。今回もフリーの Maxima さんに計算してもらいました。

ddot{θ} = 2*d*(g*Ma - fd) / (4*J + d*d*Mb)
ddot{xb} = -g

ddot{θ}は滑車の角加速度ですから、その周加速度 ddot{xb'} に変換します。

ddot{xb'} = ddot{θ}*d/2 = d*d*g*(g*Ma - fd) / (4*J + d*d*Mb)


仕様から、g*Ma > fd なので、滑車の周加速度は正です。

一方、物体Bの加速度は負です。


「滑車の周速度が加速しているのに物体Bが減速する」ことはあり得ないので「ロープがたるむ」とした仮定とそのモデルは成り立ちません。

したがって、この仕様ではロープがたるまない。

つまり剛体として扱ってよいことになります。





物体Aが停止するまでの時間を求めます。


やはり偉そうに大学基礎物理の「動力学」の見地で解いてみます(いやいや、解くのは Maxima さんですが。)

運動方程式は下です。

d/2 * ( Ta - Tb - fd ) = J * ddot{θ}
Ma * g - Ta = Ma * d/2 * ddot{θ}
Mb * g - Tb = -Mb * d/2 * ddot{θ}

xa = d/2 * θ



式の形は、物体A側にブレーキ機構を設置した場合と同一なので、以下略。。。。。

お礼

2012/02/10 17:43

何度も回答いただき、ありがとうございます。

ロープが剛体か、否かについて
下名の説明が解りづらく申し訳ありません。

てっきり、剛体＝引き上げられる側Bが制動時に飛び跳ねる上方向の
　　　　　　　　力が制動力に影響する

と思ってしまい、剛体ではないです。と回答してしまいました。

制動力が極端に大き過ぎる（B側が飛び跳ねるほどに、ロック状態）
のならば、瞬間的にはロープが緩むと思いますが、
すべりを伴いながらの制動力なので、飛び跳ねて緩むことは
ないと思います。

どのように説明したらよいのか...

物体A側の滑車とブレーキ摩擦作用点の間でロープはたるみません。
滑車はブレーキ制動時はフリーの状態です。

ロープは常にピーンと張っています。

A側とB側をフォークリフトで持ち上げるとロープは緩みます。

説明がへたくそですみません。

質問者

できれば、

> 来週末若しくは再来週、相談に乗ってください。

に関しては、これを一度閉じて、問題を整理し、回答やアドバイス内容を踏まえて、

貴殿なりに考察してから、再投稿した方が良さそうです。

> それから今回は直線運動によるブレーキ試験ですが、以前は回転運転によるブレーキで
> 試験を行っておりました。
　　　　　　　　　　・
　　　　　　　　　　・
　　　　　　　　　　・
> 上記の式は直線運動によるブレーキ制動には使えません。
> 今回も上記のような公式を導きたい思いで、回答を読ませていただいております。
> もしかすると下名が思い浮かべる到着地点は、「回答から到着できる？、遠い？」てな
> 感じの思いも抱きながら回答を読んでいたりもします。
解りますよ。
“等速度運動　減速”や“等速度運動　制動”、“等速度運動　ブレーキ”でのネット用語
検索をしてみて、資料を確認すると解り易いですよ。

直線運動の等速度運動は、必ず摩擦や空気抵抗等の力で減速されます。
その力に、ブレーキ力が加わるだけです。
ブレーキ力 ＝ 押し付け力 × 摩擦係数　の計算にてです。
直線運動の本体が車輪に乗って、自動車のようになっていて、ブレーキも自動車と同様仕様や、
直線運動の本体がＬＭガイド等に乗って、ロープと接続されていて、そのロープを押え付けるや、
直線運動の本体が鉄板等の上を滑って、ロープと接続されていて、そのロープを押え付けるや、
等々での試験となるのでしょうか？
割と簡単ですよ。ネット検索情報を確認したらね。

お礼

2012/02/10 17:22

いつも迅速、そして丁寧な回答感謝しております。
少しづつですが、思い浮かべる方向へ、近づいている感じもします。

モデルは自動車などと違い、接地面を水平移動ではなく、
通常は滑車（電動機+綱車+通常ブレーキ）により制御され、
上昇下降しています。
トラブル発生等により滑車が制御不能になった場合に
落下を防ぐために直接、ワイヤーロープを挟み込んで
非常ブレーキを利かせるシステムです。

来週は出張がありますので、移動時間をフルに使って
ネット検索してみます。

質問者

再々出です。(御免なさい。)　　再出と初出で記述している計算式を確認下さい。

初出で、
ブレーキ装置の摩擦係数 μ＝0.4とブレーキ装置の押付力 Ｐ＝2800?とで、
2800?×0.4＝1120?の力は常にロープに働いている。
物体Ａ質量1200?と物体Ｂ質量600?とで、(1200?－600?)＝600kgの力が、
物体Ａ側に常に働いている。
因って、ブレーキの力は1120?－600kg＝520kgしか減速に寄与しない。
の記述をしているにもかかわらずに、
再出では、
先ず、速度0.5m/sec時の動力は、
★ 1200kg×0.5m/sec÷102 ＝ 5.88kW(物体Ａ)
★ (2.0?･m^2)^2×(11.94rpm)^2÷(365×10^3×1)＝0.001562kW(滑車)
　 物体Ａに比べて、滑車の回転している動力は、非常に小さいので無視して計算する
★ 物体Ｂの止まり難さは、ロープが剛体でないので考慮に入れない
と記述したのが誤りです。正解は、
★ 1200kg×0.5m/sec÷102 ＝ 5.88kW(物体Ａ)　ではなく、
　　　　　　　　　　↓
★ (1200kg－600kg)×0.5m/sec÷102 ＝ 2.94kW(物体Ａ)　です。
因って、制動距離は0.58mとなります。

それから、1200kgの物体Ａの慣性力や滑車の慣性モーメントからの動力算出も加味する
必要がありますが、非常に小さいので無視です。
そして、過去に試験実績のあるパラメータを入れて計算する式に、機械効率があれば、
それが今回小生がアドバイスした数値との差と考えられます。

定数ですね。詳細に云えば、定数と単位換算の数値です。

“動力計算”をネットで用語検索しますと、色々な計算式が出てきます。

例えば、直線運動を動力計算する時は、作用する力Ｆ[kg]と速度Ｖ[m/sec]が解ると、
動力Ｐ[kg･m/sec]＝Ｆ[kg]×速度Ｖ[m/sec]となり、　動力を[kW](キロワット)で表すと
動力Ｐ[kW]＝Ｆ[kg]×速度Ｖ[m/sec]÷102となり、102が定数となるようにです。
また、回転運動を動力計算する時は、作用するトルクＴ[kg･m]と回転数Ｎ[rpm]が解ると、
動力Ｐ[kg･m/sec]＝2×π×Ｎ[rpm]×Ｔ[kg･m]÷60となり、2やπ、60が計算処理定数です。
最近では 2×π÷60＝0.105として、動力Ｐ[kg･m/sec]＝0.105×Ｎ[rpm]×Ｔ[kg･m]と表示します。
が、小生は60は、rpmのmin(分)→ses（秒）に変える処理定数、トルクＴ[kg･m]を分解すると
半径Ｒ[m]×力Ｆ[kg]なり、2×π×半径Ｒ[m]＝円周長さが求まり、その円周を単位時間当たり
何回廻る(何周する)で速度が導き出され、あれをあれをと云う間に、
回転運動計算の 2×π×Ｎ[rpm]×Ｔ[kg･m]÷60が、直線運動計算のＦ[kg]×速度Ｖ[m/sec]に
置き換わるようになります。(元々、同じ計算内容で、用語と単位が違うだけです)
以上のように、計算処理定数としての意味合いを持ち、まとめない方が解り易いのです。

もう一つ、微分積分で頭を痛めているようですが、これは機械工学では必需です。
ですが、小生は微分積分が得意でない部下にも使用できる設計標準や手順書を作成し、
運用していました。
ですから、この森での説明は極力微分積分という言葉と記号を使用しないで、説明することに心がけています。
高校程度の物理で、距離 ⇔ 速度 ⇔ 加速度の変換式は、微分積分を判り易い公式に置き換えて
いるものですし、小生が前出で記載の速度が0.5m/secから0m/secに要した時間から距離を求めた
手法も積分(その逆は微分)です。が、平均速度×速度にて説明をしました。
(質問者さんに、極力理解していただくために)
質問者さんは、計算式を丸覚えでなく、少し理屈を確認しての覚え方の方が、応用が利いて将来
役に立つようになります。
ですから、今回のお礼の中の質問はGoodです。(だから、追記も丁寧にしております。)

後もう一つ。回答(４)さんの
> この問題は、ロープを剛体とみなせるかどうか? にかかっています。どっちですか?????
はよい質問or指摘でした。ですから、
> と記述したのが誤りです。正解は、
> ★ 1200kg×0.5m/sec÷102 ＝ 5.88kW(物体Ａ)　ではなく、
> 　　　　　　　　　　↓
> ★ (1200kg－600kg)×0.5m/sec÷102 ＝ 2.94kW(物体Ａ)　です。
> 因って、制動距離は0.58mとなります。
と、訂正ができました。(ロープの引張側は剛体とみなせるからです)

そして、物体Ａ(質量1200?)と物体Ｂ(質量600?)の制動(減速)慣性力からの動力計算は、
圧縮側に働くので、1200kg－0kg＝1200kgを採用することになります。
物体Ｂ(質量600?)は寄与しないから。

それと、
> すでに立派な回答がついておりますが。
は、そんなことはありません。平凡な回答です。努力している中学校レベルの回答です。
中学校レベルにすることで、判り易くしている、しようとしているのですが…。

お礼

2012/02/03 17:17

何度も返信いただいき、有難うございます。

そして何度も質問してすみません。

(2.0?･m^2)^2×(11.94rpm)^2÷(365×10^3×1)＝0.001562kW(滑車)

(1200kg－600kg)×0.5m/sec÷102 ＝ 2.94kW(物体Ａ)

上記２式の(365×10^3×1)と102は係数なのでしょう？

週末に勉強して少しでも理解できるよう、頑張ります。

ご丁寧に解説していただき有難うございます。
先週末に色々なパターンで試験しました。
（制動時の速度を変化させたり、アンバランス率を変えたりと24種の試験を）
今週は試験結果をまとめており、来週より計算式と実測との
整合をまとめようと思っています。
来週末若しくは再来週、相談に乗ってください。
宜しくお願い致します。

それから今回は直線運動によるブレーキ試験ですが、
以前は回転運転によるブレーキで試験を行っておりました。
今回は直接ロープを挟み込むブレーキで、
以前は滑車に取り付けられているドラムブレーキでした。
（滑車とロープはトラクション力によりスリップしない構造です）
前回は走行時間と制動時速度で減速度を求めいていました。

前回の計算式は
走行時間（ｔ）、慣性モーメント（ΣJ）、制動速度時の回転数（ｎ）
ブレーキトルク（Tｂ）、静負荷トルク（Ta）、機械効率（η）

ｔ＝（ΣJ×ｎ）/[9.55×（Tb-Ta×η）]

です。

上記の式は直線運動によるブレーキ制動には使えません。
今回も上記のような公式を導きたい思いで、回答を読ませていただいて
おります。
もしかすると下名が思い浮かべる到着地点は
「回答から到着できる？、遠い？」てな感じの思いも抱きながら
回答を読んでいたりもします。

質問者