風船に取り付けられた管路およびソレノイドバルブか…

Question

風船に取り付けられた管路およびソレノイドバルブからの、空気の流出量と流速の求め方

現在、下記のような空気圧制御機械を設計しております。

・管路の両端に、風船とソレノイドバルブが取り付けられている
　・管路の内側の半径はR[mm]
　・管路の長さは、L[m]
　・風船の最大容量はV [m^3]
　・風船の中身は、空気

図で書くと、こんな感じでしょうか
　●================□　三３（ぷしゅ～、と空気が抜ける）
　　|<----- L[m]--->|
  ●：風船、最大容量 V[m^3]
　□：ソレノイドバルブ

ソレノイドバルブを閉じた状態の時、
風船の中の圧力と大気圧との差が、P[Pa]だったばあい、
ソレノイドバルブを開いたときの、
ソレノイドバルブから流れ出る空気の流量と、
ソレノイドバルブの出口での空気の流速を求めるには、
どのように考えたらよいのでしょうか？

なお、風船、管路、ソレノイドバルブはなめらかにつながっており、
　　管路もまっすぐで、ソレノイドバルブにおける抵抗は、ないと
　　考えます。
　　（これらの抵抗は、後で考えようかと・・・まずは大まかに値を求めたいと思います。）

たぶん、レイノズル数とかも関連してくると思うのですが、
速度がわからないと、レイノズル数も分からず・・・

流体力学を、書籍を買って勉強し始めて一週間経ちますが、
まだ考え方になれておらず、どこから手を付けて良いのか
分からない状態です。

皆様お忙しいところとは存じますが、何卒よろしくお願い申し上げます。

教科書をあさっていたところ、下記のような問題に出くわしました。

圧縮性気体の拡大縮小管における流れ、というような項目です。

問題文は、
　圧力 X kg/cm^3 abs 温度 T [℃] のタンク内の空気が
　断面積 S [m^2] の先細ノズルを通して外気 Y [kg/cm^3] に
　噴出している。このときの最大流量を重量にて求めよ。

といった内容です。

どうやら、圧縮性流体のエネルギー保存式を変形して
求めているようです。

細かい数式、解法は省略いたします。

空気だと、圧縮性があったりするので、その辺の扱いがもやもや
していたのですが、なるほど質量で表すといいみたいですね。

あとは、管路の抵抗などを加味して求めていけば良さそうです。

というわけで、一つの解法は見つかったのですが、
これがあっているとは限りませんので、もしよろしければ
他の解法を教えていただける方がいれば大変助かります。

今後ともよろしくお願いいたします。

Answer

圧力伝播速度は音速です。
したがって　音速で空気が抜け始めます。近似式ではＬＲなどの絶対値が違うと変わりますが、Ｐが大きく　Ｒがちいさいときは初速は音速になります。
配管出口の空気の質量は　ｍ＝ｄ*２＊π*Ｒ＾２*ρ　ρは空気の密度
ｄ＝3－４Ｒとします。（適当な値です。ぷシューの噴出しの長さです）
これが圧力Ｐ*２πＲ＾２＝ｆ　の力で加速されます。
そこで　ｆ＝ｍａ　に代入して　微分方程式を立てます。
加速度を速度に積分して流速を求めます。
しかし、流速は音速が最大ですので、計算した値が音速を超えるときは
音速　＝流速となります。体積と圧力の関係を風船ではかれば、見かけの圧縮性が下がるので、音速も下がりますね。　
この場合は　配管内は空気の音速になって風船内は風船分の体積弾性分が
圧縮性にくわわり、音速が下がります。したがって　配管出口の速度上限は音速　風船出口は　見かけの音速ですね。

このスペックでは　音速＝３４０ｍ/Ｓ　の流速になるのでしょう。
Ｐを下げていってどこまで下げたら　音速以下になるか、までは積分ではなくて掛け算です。音速＊配管の面積だけ１気圧の空気が抜けていきます。
それから　音速以下の挙動は積分や微分方程式の領域です。
ぷシューといっている間は比例計算でいいでしょう。

音速で飽和している間は流速は一定＝音速です。

Answer

素人回答ですのでトンチンカンでしたらお許しを！

管路の抵抗は，書籍の内容で求められると思いますが，風船の空気圧がくせ者と思います。圧力の原因は，ゴム膜の弾性と思いますが，この値をどのように見当をつけるかがポイントと思います。風船を膨らませた経験から推定すると，ゴム膜の弾性は非線形でかつ履歴現象がありそうです。

解析なさりたいことは「プシューと空気が抜けるとき」のようですので，前記の心配事は，実測データさえあれば問題ないと思います。一定に膨らませた風船から徐々に空気を抜いていった時の風船の大きさ（内容積）と圧力データを実測しておけば，あとは管路の空気抵抗から流量，流速などは計算できるものと思います。

実際は，ゴム風船のゴム膜よりもしっかり物性を把握できた材料をお使いかとも思いますので，実測データがなくても，材料の弾性率，ポアソン比などから計算可能なものと思います。
　ご専門の方のアドバイス期待します。

管路の抵抗が流速によらず一定ならば簡単に答えが求まるのに，そうはいかずにお困りの様子。要するに非線形問題。このような問題を簡単な数式で一方向から数値を求めようと考えると行き詰まります。
　解決手段はグラフ。例えば，流速を0.1m/s，0.3m/s，1m/s，3m/s，10m/sのように仮定すれば，レイノルズ数も求まって，流量vs.圧力のグラフがプロットでいると思います。（プロットに少々手間取りますが，練習と思って多少は我慢）風船の圧力とプロットしたカーブの交点から，流量が求まるということです。圧力は空気が抜けるに従い徐々に低下していくでしょうから，この関係が把握できていれば，ご質問の答えが求まると思います。

風船に取り付けられた管路およびソレノイドバルブからの、空気の流出量と流速の求め方