電動ドリルのチャック部（6.5mm）の最大使用径

6.5のチャックがついているということは電動ドリルでも小さいほうですね。うちではそれではつらいので10以上のチャックがついているのを使っています。チャックは交換できるので13のチャックをつけているのもあったような。電動ドリルの胴体にＭ１０のタップ穴があってそこにレバーをつけて左手でレバーを持って使うのが正規の使い方だと思っています。このレバーをつけないとドリルが食いついたときに電気ドリル本体がまわされて怪我をすることがあります。レバーを長くすれば回転が止まるまで負荷をかけられるので長くしたほうがいいです。その分発熱が多くなり寿命が短くなるでしょうが

もともとドリルチャックはアメリカのジャコブス社が開発した物と聞いています。
ですから本来インチ規格の物ですので、1/4インチ(6.35mm)が6.5mm、3/8インチ(9.525mm)が10mm、
1/2インチ(12.7mm)が13mmと、それぞれのメトリックのサイズは対応しています。
ジャコブス社のチャックには両規格の使用径が表記してありますが、最大0.475mmの差があります。
ですので、使用径は厳密な物ではなく、「ストレートドリルで入る物は使える」と私は解釈しています。
これは飽くまでも私見ですが。

ちなみに私は強く締める場合には、旋盤などのスクロールチャックと違い、一ヶ所だけで締めずに「ハンドルを挿す穴全てで締めろと」習いました。（理由は不明ですが）

Φ６．７やΦ６．８のドリルならまったく問題ないでしょう。
ただ入らない径のドリルシャンクを旋盤加工等で入る様にして使うのは危険です。大きな負荷がかかるとスリップします。
ノスドリル（ayanoさん参照）という物もありますがこれは細くしたシャンク部に縦方向で３本のＶ溝が入っておりその溝にドリルチャックの爪をはめて掴むのでスリップしません。

皆さんのおっしゃる通りそういうドリルが販売されています。加工する材料によりますがアルミや木質系ではドリルのチャック部分を旋盤加工して6ｍｍチャックで12ｍｍ程度まで利用しています。当然回転数を変えてですが。
ドリルチャックでなくスリーブなどで外形に制限があるような加工にはドリルやリーマの軸を加工して利用します。切削条件を設定すれば何をどう利用するかはユーザーしだいかと。

実用上は問題ないでしょう、ただしメーカーが保障するものでは無いの責任問題になるような場面では避けた方が懸命でしょう。構造的には内部の螺旋状ねじ部のひっかり有効長が減少するので強く閉めると変形磨耗しますので出来ることなら避けた方がいいでしょう、あくまで緊急避難的用法と思った方がいいです。
ドリルビット自体に段差があり小さいチャックで咥えるように作られたものもあります。あるいはチャック自体の交換も出来るはずですので計経済性作業性等総合的に考えて組み合わせを考えてみましょう。