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締切り済みの質問

円盤の慣性モーメント

直径D,質量Mの中心軸まわりの慣性モーメントが1/8xMxD^2と公式として
書いてある文献がたくさんありますが求め方がわかりません!
どうやって求めるのでしょうか?

投稿日時 - 2007-07-03 10:02:00

QNo.9454675

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回答(4)

          誤   正
慣性モーメントJ = m・r → m・r^2 --- ?

微小の記号dとして
微小厚み drのリングの 面積 dA = 2πr・dr --?
密度ρとして dm = ρ・c・dA --- ?
m = πρ・c・R^2 -- ?

        ?      ?        整理
   J = ∫dJ = ∫dm・r^2 = ∫(ρ・c・dA)・r^2 = ∫2πρ・c・r^3 ・dr

定積分      ?     直径で
    = πρ・c・R^4 / 2 = m・r^2 /2  =  m・D^2 /8

回答(1)の方が正しいでした。

投稿日時 - 2007-07-04 00:32:00

moridesignofficeさんへ
回答がよく分かりません。ご教授ください。
「慣性モーメントJの定義は、質量m、回転半径rとして J = m・r」
分かりやすいサイトを教えてください。

「∫r・dm = ∫(ρc・dA)r^2」
なぜ、結果としてr^2になるのでしょうか?

「πρc(r^4)/2 = m・D^2 / 8」
この結果の途中計算を教えてください。

「ここでは 定積分記述が出来ないので・・」
理由は何でしょうか?
答えにDが出てきていますが・・?

よろしくお願いします。

もう一つ不明な点があります。
「 半径r  半径増分?r」
r+?rと考えて、ドーナツ形状で計算しているのですよね。
どこからどの範囲で積分しているのでしょうか?

投稿日時 - 2007-07-03 15:03:00

慣性モーメントJの定義は、質量m、回転半径rとして
  J = m・r ---(1)  本題の物体は円盤で r= 0~(D/2)

ここで、微小質量部?mで (1)式を考える。
  密度ρ  ドーナッツ形の微小面積 ?A = 2πr・?r
半径r  半径増分?r   高さ(厚み)c とすると、
  この微小部の質量 ?m = (ρc?A)
この部の慣性モーメント ?J = r・?m

従って全体の慣性モーメント 
J = ∫r・dm = ∫(ρc・dA)r^2 = ρc∫r^2 dA = ∫ 2πρcr^2rdr
= πρc(r^4)/2 = m・D^2 / 8

なお、ここでは 定積分記述が出来ないので、正しい記述としては、
下記サイト:伝動軸(3)の(c)の(イ)円筒体を参照。

参考URL:http://www.geocities.jp/moridesignoffice/Shaft.html

投稿日時 - 2007-07-03 14:11:00

合っているかどうか分かりませんが、
慣性モーメントをI、質量をM、円盤の半径d、面密度q、中心から外周に向かっての距離をrとすると
公式I=Mr^2で、円盤の円周上の質量はq2πrとなり、
そしてq=M/(πd^2)です。
つまり
I=∫r^2(q2πr)dr を中心0からdの間で積分します。

I=∫r^2(M/(πd^2))2πrdr

I=M/d^2∫2r^3dr

I=[r^4/2]M/d^2(0~dの数字を代入)

I=1/2×Md^2

ここでd=D/2なので

I=1/8×MD^2

ではないでしょうか。

投稿日時 - 2007-07-03 11:42:00

お礼

早速のご回答ありがとうございました。
わかりやすくたすかりました!!

投稿日時 - 2007-07-03 13:37:00

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