不静定連続はりのたわみと応力について

・簡単化の為、c=L1, a=L2=L3 と記述。　抗力は上向きをプラスとする。
・本連続梁は、未知数2個に対し数式2個の連立方程式で求められます。

?自重無視の場合
　　RA=W+ 5c*W/4a=1.324kgf, RB=-3W*c/2a=-1.469kgf, RC=W*c/4a=0.245kgf
　　Mmax=MA=-W*c=-14.20kgf･mm, MB=RA*a=3.55kgf･mm, MC=MD=0kgf･mm
　　θA=(7W*a*c/24EI)*180/pi=0.0036度,
　　θD=(Wc^2/2EI)*180/pi + θA=0.0649度
　　YD=W*c^2*(7a+8c)/24EI=0.110mm
　　Z=pi*D^3/32=16.33mm3, σmax=MA/Z=-0.87kgf/mm2 　　　

?自重のみ場合
　　自重の分布荷重ω=0.1853kgf/m (重量 0.032kgf)
　　RA=0.189kgf,　RB=-0.190kgf,　RC=0.033kgf
　　Mmax=MA=-(ω*c^2)/2=-1.87kgf･mm, MB=0.46kgf･mm, MC=MD=0kgf･mm
　　θA=0.0005度, θD=0.0059度, YD=0.011mm

合計?=?+?
　　RA=1.513kgf,　RB=-1.659kgf,　RC=0.278kgf
　　Mmax=MA=-14.20-1.87=-16.07kgf･mm, MB=4.01kgf･mm, MC=MD=0kgf･mm
　　θA=0.0041度, θD=0.0708度, YD=0.121mm
　　Z=pi*D^3/32=16.33mm3, σmax=MA/Z=-0.98kgf/mm2


なお、
・上記は、自重込みでの場合も参考として計算値を記載しましたが、
　自重無視?だけでの抗力Rの算出でOK かと思います。
・最大曲げモーメントMはその部材端が自由端なので、支持ABCの構成に
　無関係で、外荷重×距離での算出です。
・支持ABCの構成は、ほぼA端固定(たわみ角0.0036度≒0度）であるので
　D端のたわみは、片持ち梁の Y=WL^3/3EI=0.101mm の近似計算可能。
・抗力の算出には必ず連立方程式を解く必要があります。

自重無視の場合、下記URLにて２通りの解法の詳細があります。

D端の撓みYDが最小となるB点の位置L2について、

L2をxと置いて、iAが最小となるｘを
diA/dx=0より算出です。
ここに
　iA=iB-x*{RC*(2*(L2+L3)-x)+RB*x}/2EI
iB=-RC*(L2+L3-x)^2/3EI
　但し
　RC=W*x*L1/{2*(L2+L3-x)*(L2+L3)}
　RB=RC*{2*(L2+L3-x)^2+3x(L2+L3-x)+x^2}/x^2
で、答えはB点をA点に近づけると(L2→0)、
数値計算では　YD→0.101mm が最小となりますが、
但し抗力RA,RBが無限大となります。
（実際は支点弾性沈降が発生し、無限大にはならず
　抗力RCも大きくなるのですが、）

従って、現状のL2=L3=14.5mmがほぼ妥当と思います。

以下を参照下さい。参考になります。

http://www.1kyuu.com/gakka_ref/r_kouzou/mokuzi.htm

[答え]
yD=0.118　mm　,　RA=-14.441　N　,　RB=15.833　N,　RC=-2.654　N
最大曲げモーメントはA支点で、MA=-153.364　N・mm
そして、MB=38.296　N・mm　、最大曲げ応力　σ=9.392　N/mm2
＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋
[解法1]
　　Ｗ（荷重：100ｇ≒0.98Ｎ）
　　｜
　　｜
　　↓　　　　　　　　　　　　　　　 |（Ｂ'）　
　 ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
　（Ｄ）　　　　　　　　▲（Ａ'）　　　　　　　　　▲（Ｃ'）

＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋

[解法2]　　 　　　　　　　　　　　　　↓（Ｂ"）
　 ーーーーーーーーーーーーーー
　 　　　　　　　　▲（Ａ"）　　　　　　　　　▲（Ｃ"）
＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋
不静定はりは、上図のように分けて考えると、分り易いです
[解法1]から普通に、反力RA'とRC'そして曲げモーメントを計算します
最後に（B'）点のたわみも、計算しておきます。
次に[解法2]も同様に反力RA"とRC"そして曲げモーメントを計算しますが、
[解法1]の（B'）点の逆たわみになるような、B"荷重を逆に計算することで
反力RA"とRC",曲げモーメントが求めることが可能になります

最後に、[解法1]と[解法2]を重ね合わせると、全てが解けることになります
B支点のたわみがゼロになるのを利用して、RBとRA、RC、他を計算します
上記の回答は、自重も考慮してあるので、若干違いますが、殆ど同じです
更に、自重を等分布荷重として重ね合わせるとより正確にだせます

しかし、こんなミニュチュアのようなものも強度計算はやはり必要なのかな
最近は、コノ手の非常に小さいものが多いような気がしますけど・・・
こういうサイズになるとまた、一種独特な材料力学があるような気がする

最新というかPCで解いてみた。ものの5分程度しか掛からないのです。
幾分か違うが、手計算で良くもやったもので当時に感心した。
しかし、尊師はこのころから変わっていないねぇ。

[答え]
yD=0.11010586　mm　,　RA=12.977　N　,　RB=-14.396　N,　RC=2.399　N
最大曲げモーメントはA支点で、MA=173.95　N・mm
そして、MB=34.79　N・mm　、Z=16.33 mm3 最大曲げ応力　σ=10.65　N/mm2

重力というか自重は無視しました。
それを加味すると・・・
yD’=0.12134164　mm まぁ当然ながら大きくなるが 0.01 mm とは、微笑w

お礼

2007/12/05 15:36

大変正確でわかりやすい回答ありがとうございます。
追加の問題があるのですが、支点Ｂを支点Ａ-Ｃ間のどの位置に定めたときたわみが一番小さくなるかというのもです。
そのため、回答とお手数ですが計算式等も載せていただけると助かります。なにぶん素人なので式がなければ自分で計算まですることができません（；；）

質問者

モーメントに関してですが、
★ 支点Ｄ－Ａ間（ L1＝142[mm] ）
　 荷重100ｇ×142mm ⇒ 14200g･mmとなります。
　 そして、梁の強さと撓みは、自由端？集中荷重の片持ち梁の条件で計算します。
★ 支点Ａ－Ｂ間（ L2=14.5[mm] ）
　 Ｂの反力が、100g×142mm÷14.5mm ⇒ 980g <Ｂ点が980gに耐えられるか否かを要確認>
　 そして、梁の強さ計算は、100g×142mm ≒ 980g×14.5mmなので不要
　 梁の撓みは、支点Ｄ－Ａ間計算で、（Ａ）点の通過角度を求めて、（Ｂ）点の弾性変形
　 を求めて、比例作図すれば求まります。が、一般的には問題ない範囲です。
★ 支点Ｂ－Ｃ間（ L3=14.5[mm] ）
　 一般的には確認は不要です。

以上の手法で確認すれば、問題がない筈です。

支点は力学的に
＊ 移動端（ローラー） △にアンダーバーが表示法
＊ 回転端（ピン）、支点（△）と部材間（―〇―）の表示法があり
＊ 固定端（フィックス） Ｔの上に斜線を逆した表示法
の種類があり、
（１）回答は移動端、（２）回答は回転端と固定端なのかな？？？？