断面の厚みが変わる片持梁のひずみ

断面の厚みが変わる『片持梁』のひずみ面積モーメント法による計算
参考図：http://www3.starcat.ne.jp/~rod_6/11.html

１．C点のたわみ（台形部）：δC
面積＝(PB/2)*(L+A) (kg*mm^2)
図心G=B(2L+A)/(3(L+A)) (mm)
たわみδC＝(PB^2/6Ei)*(2L+A) (mm)

２．C点のたわみ角：θC
面積モーメント法によると，たわみ角＝面積／Eiなので，
θC=PB(A+L)/(2Ei)　（rad　ラジアン)
　参考）θC（°）=360/(2π)*θC(rad)

３．O点の補正量：δ
O点において，曲げモーメントが作用する前に，C点のたわみによって，O点は下方へ動く。その量を補正量と，ここではいうことにする。
δ=A・θC　(mm)

４．O点のたわみ（三角形部）：δO
面積＝P/2*A^2 (kg*mm^2)
図心g=2/3*A (mm)
たわみδO＝PA^3/(3EI) (mm)

５．O点の全たわみ：δT
δT=δC+δ+δO

６．計算例
P=50kg, A=150mm, B=100mm, E=21000kg/mm2), I=20000mm4, i=15000mm4として計算すると，
台形の面積=1000000mm2, G=54.17mm, δC=0.172mm,
θC=0.0032rad(0.182°), δ=0.476mm,
三角形の面積=562500mm2, g=100mm, δO=0.134mm,
δT=0.782mm

以上

＞学生の時勉強しておけば・・・って
今になって身にしみます。
ほんと高い授業料払ってもいいくらいです

これからやればいいのではないですか。
お金をかけても，あまり身にならないのではないでしょうか。
どうせかけるなら，時間と集中力でしょう。
と，余談はさておき，頂上を目指しましょう。

＞次のステップです。
＞６． 点Cにおけるたわみ角を計算します。
ココは
たわみ＝(PB^2/6Ei)*(2L+A) を微分すればいいのかな？
でも何で微分？できればココを重点に教えて下さい。
それとも全く検討違いですか？

たわみδが，たわみ曲線の関数（例：δ=ax^2+bx+c）で表されていれば，微分すると角度を計算できます。ここで求めたたわみは，距離の関数ではありません。

次は，面積モーメント法です。
d^2y/dx^2=M/EI, θ=dy/dxなので，
dθ/dx=M/EI
よって，dθ=M/EI・dx
θ=∫｛M/EI｝dx　=1/EI・∫｛M｝dx　(X=0→たわみを計算した点の距離) 　∫は積分記号の意味です。
∫｛M｝dx　は，曲げモーメント線図の面積になりますよね。
したがって，
θ=面積／EI　です。

このへんは，材料力学の本に詳しく載っています。

＞７． 三角形の曲げモーメントが負荷されない状態の先端の位置を計算します。
ココは
『６．』で出した答えに（長さ＝A）をかけるんですか？
先端の位置=A*tanθ？？？

そうです。

＞８． 三角形の曲げモーメントによるたわみを計算します。
ココは
『たわみ＝PA^3/3EI 』でいいですよね？

間違いないでしょう。

＞９． ８．のたわみと７．の位置を加算すると，先端におけるたわみになります。
ココは単純に足し算でいいですよね？

そうです。
足し算は単純で楽ですね。

これで，頂上に到着です。
乾杯！
Have a toast to your success !

私は明日から夏休みです。
サムさんはもちろん勉強（？）でしょうから，面積モーメント法のまとめを書いておきますので（実は，最初に作成していましたが，途中で符号が変わったので最終の符号に書き直しています），復習されてはいかがでしょうか。計算例付きです。

お礼

2004/07/23 19:26

感動です。ここまでおつき合い下さいまして
大変感謝しております。非常に助かりました。

僕は釣り好きで竹を削って竿を製作してます。
竹をテーパー状に削って行くのですが
これが結構、職人技に近くて感だけが頼りなんで・・・
そこで、なんとか力学的に『曲り方』を説明したかったんですよ。

下記が僕のHPになるのですが、よければ覗いてみて下さい。
間違いがあるかもしれませんが、何かお気付がったらお知らせ下さいませ。



http://www3.starcat.ne.jp/~rod_6/moe-a.html

この度はありがとうございました。

質問者

＞再度訂正しました
こんな感じでよろしいのでしょうか？
http://www3.starcat.ne.jp/~rod_6/11.html

いいですね。

＞八合目までいってますか？？
もう少しおつき合いお願いします
なんとか理解したいです。

ここまできたら，つき合いますよ。
ただし，高くつきますよ。（笑）

＞ところで
『５．』の計算式は
面積＝(PB/2)*(L+A) =(kg*mm^2)
図心（重心）=B(2L+A)/3(L+A)) =(mm)

たわみ＝(PB^2/6Ei)*(2L+A) =(mm)
っとなりましたがいかがでしょうか？

間違いないでしょう。
もう，９合目です。
あと少しです。

次のステップです。
６． 点Cにおけるたわみ角を計算します。
７． 三角形の曲げモーメントが負荷されない状態の先端の位置を計算します。
８． 三角形の曲げモーメントによるたわみを計算します。
９． ８．のたわみと７．の位置を加算すると，先端におけるたわみになります。

お礼

2004/07/22 22:58

学生の時勉強しておけば・・・って
今になって身にしみます。
ほんと高い授業料払ってもいいくらいです


＞次のステップです。
＞６． 点Cにおけるたわみ角を計算します。
ココは
たわみ＝(PB^2/6Ei)*(2L+A) を微分すればいいのかな？
でも何で微分？できればココを重点に教えて下さい。
それとも全く検討違いですか？

＞７． 三角形の曲げモーメントが負荷されない状態の先端の位置を計算します。
ココは
『６．』で出した答えに（長さ＝A）をかけるんですか？
先端の位置=A*tanθ？？？

＞８． 三角形の曲げモーメントによるたわみを計算します。
ココは
『たわみ＝PA^3/3EI 』でいいですよね？

＞９． ８．のたわみと７．の位置を加算すると，先端におけるたわみになります。
ココは単純に足し算でいいですよね？

宜しく御教授お願いします。

質問者

＞曲げモーメント線図を訂正しました。
＞こんな感じでよろしいのでしょうか？
＞http://www3.starcat.ne.jp/~rod_6/11.html

あれっ？
訂正されていませんよ…。。

＞『５．』の計算式は
面積＝(PB/2EIi)*(LI+Ai)
図心（重心）=L-(B(LI+2Ai))/3(LI+Ai))
たわみ＝(PB/6EIi)*(3IL^2+3iLA-ILB-2iAB)
っとなるのですか？

面積及び図心には，断面二次モーメントＩ及びｉは含まれません。
サムさんの描いた下図は，モーメント線図ですから，力と長さの積だけで表現します。
そうなっていないので，たわみにもＩ又はｉが余分に入ってきてしまいます。

数値はともかく，単位だけを計算して確認してみてください。
たわみ（ｍｍ），Ｌ，Ａ，Ｂ（ｍｍ），Ｅ（kg/mm2），Ｉ，ｉ（ｍｍ４）を使用して。

サムさんが描かれた図を次のように訂正してください。
（１） モーメントをPL/Ei→PL，PA/EI→PAに下図をそれぞれ訂正。
（２） 下図の点A及びBは，紛らわしいので，点C及びD。
（３） 台形の図心Ｇを，点Ｃからの距離に訂正。

八合目にさしかかりました。
あと一歩ですよ。

お礼

2004/07/21 20:46

再度訂正しました
こんな感じでよろしいのでしょうか？
http://www3.starcat.ne.jp/~rod_6/11.html

八合目までいってますか？？
もう少しおつき合いお願いします
なんとか理解したいです。

ところで
『５．』の計算式は
面積＝(PB/2)*(L+A) =(kg*mm^2)
図心（重心）=B(2L+A)/3(L+A)) =(mm)

たわみ＝(PB^2/6Ei)*(2L+A) =(mm)
っとなりましたがいかがでしょうか？

質問者

　＃４です。訂正です。

　　　サムが描かれた図を
　　　　　　　　↓
　　　サムさんが描かれた図を

どうも申し訳ありませんでした。（汗，汗，。。。。）