ＨＰトラブルで困っています。教えてください。

結構、深刻ですね。わたしも皆さんの意見とほぼ同じです。
今回の場合、デザイナーに前面的に手渡して、依頼しているようですから、残念ながら著作権は、デザイナーにあると思います。そのため、このデザイナーが言うように、相手の許可無く著作者の名前を変更すると違法ということになります。
それと、ソースを購入するというのと著作権を購入するというのでは、意味は異なります。この著作権の問題を解決するには、100％自分で作り直す必要があります。その作り直した内容が、今のものと似ていても問題ありません。デザイナーから購入した段階のものから90％異なっているということですから類似性は、それほど追及されないと思います。現在、日本の著作権法では、画面の類似性は、対象外となっています。ただし、ソフトについては、対象となるので、残りの10％の部分についても、設計書や企画書など独自で開発した結果このようなソフトになっているということが証明できないと、追求されたときに問題が発生すると思います。
基本的に、今回の場合のように、委託と言う形で依頼した場合、特に契約が無い限り著作権は、開発したほうにありますから気をつけてください。だたし、コンピュータについての著作権、特にソフトのことについては、後手後手に回って決められているため、公なところでやりあうような状態でしたら、最新情報を入手したほうがいいと思います。

問題はあなたのページが、依頼された先の製作オリジナリティを利用しているかどうかです。・・・もし、相手のオリジナルを利用されている場合は、著作権について意識をされるべきでしょう。
その場合、相手に著作権登録があるかどうかが争いのポイントとなります。・・・著作権は通常第三者の証明がついております。・・・もし、証明がなければ心配はないでしょう。
意匠登録と著作権とは何ら関係はありません。・・・間違われないよう注意が必要です。・・・意匠登録がなくても著作権はありますので、間違ったことにはご注意が必要です。
著作権というものは、裁判で第三者の証明の有無により、有効無効が判断されるものですから、あなたが現在のソフトを先に証明を受ければ、問題は生じないと思います。・・・但し、日本の場合。
以上参考にしてください。

　はじめまして、大変な所に御願いしましたね｡私共も、同様な商売を
致しておりますが、このようなお話は聞いたことがありません｡この
ような状況の中では、現行のホームページを、変更するより、すべてを
新しくした方が良いと思います｡通常、意匠登録などしていないですの
で、著作権などあろう筈がありません｡単なるイチャモンとしか思えま
せん｡しかし、このような馬鹿者と裁判をしても、貴方に何ら徳はなく
、今迄かかった費用は、無駄にはなりますが、こんなインチキな所へ
頼んだのは、あなた自身です｡お陰で、９０％も自社内で出来るように
なったと思い、総てをこの際新しく１００％自社で､おつくりください
｡世の中には､このような､悪党が大勢いると思うと､私も腹立たしく
思いますが､ここは勉強させて頂いたと思い､諦めなさい。

ご参考まで。
小生は自分でＨＰを作っています。フロントページなどの市販の作成ソフトで簡単に作れます。どんなページか知りませんが、ただ画像と文章を列記した程度なら、いまのＨＰを削除して新規に作られたら良いと思います。ワードでも可能です。例えばｊａｖａなどの専門知識が必要なソフトで凝った作品を依頼したのならそのものには著作権の主張はあっても良いかと思いますが、それとて契約内容次第です。そんな主張をする自称デザイナーとはお付き合いしない事です。数百ページのカタログをデザイン事務所と製作したこともありますが、支払い後の流用にも大概はＯＫでした。ＵＲＬを教えて下さい。後学の為に。